Para apuntar una antena al NegroSat-1, en =C3=B3rbita geostacionaria sob=
re el =
Ecuador, a 72=C2=BA de longitud Oeste:
Vamos a apuntar la antena girand=C3=B3la dos =C3=A1ngulos, uno horizonta=
l o azimut =
(AZ), y luego otro vertical, o declinaci=C3=B3n (DE), calculados a parti=
r de la =
latitud y longitud del lugar donde instalaremos la antena, al que =
llamaremos punto U.
1- Primero, alinear la antena con el meridiano local, apuntando la anten=
a =
directamente al Norte (AZ=3D0=C2=BA, medido desde el Norte, en sentido h=
orario), =
si estamos en el hemisferio Sur, o direcamente al Sur (AZ=3D180=C2=BA), =
si =
estamos en el hemisferio Norte.
Si estamos sobre el Ecuador, o sea, si nuestra latitud es exactamente 0=C2=
=BA, =
apuntar la antena directamente al Oeste (AZ=3D-90=C2=BA) si nuestra long=
itud es =
menor a 72=C2=BA Oeste, o directamente al Este (AZ=3D90=C2=BA) si nuestr=
a longitud es =
mayor a 72=C2=BA Oeste.
Si nuestra longitud es exactamente igual a 72=C2=BA Oeste, y nuestra lat=
itud es =
exactamente 0=C2=BA, o sea, estamos sobre el Ecuador (es decir que estam=
os =
directamente abajo del sat=C3=A9lite, en un punto sobre la superficie te=
rretre =
que llmaremos PS), apuntamos la antena directamente hacia arriba. Esto =
finaliza la orientaci=C3=B3n de la antena. No hace falta continuar con l=
os =
siguientes pasos.
Si estamos sobre el Ecuador, o sobre el meridiano de 72=C2=BA, pero no a=
mbas =
cosas simult=C3=A1neamente, entonces AZ ya est=C3=A1 resuelto, saltar al=
paso 3, el =
c=C3=A1lculo de la declinaci=C3=B3n DE, o =C3=A1ngulo vertical.
2- En caso contrario, vamos a calcular el azimut, AZ, o =C3=A1ngulo hori=
zontal.
Primero, llamaremos LA a la latitud en grados sexagesimales y fracci=C3=B3=
n =
decimal de grados. Si la latitud es gg=C2=BA mm' ss", LA =3D gg + mm/60 =
+ ss/3600.
Independientemente de si estamos en el hemisferio Norte o Sur, =
consideraremos siempre positivo al =C3=A1ngulo LA. Ignoraremos, para el =
resto =
de este c=C3=A1lculo, la definici=C3=B3n convencional de azimut. Nuestro=
"azimut", =
ser=C3=A1 s=C3=B3lo el =C3=A1ngulo horizontal en que debemos girar la an=
tena a partir de =
su posici=C3=B3n inicial, alineada con el meridiano local.
Llamaremos LO a la longitud en grados sexagesimales y fracci=C3=B3n deci=
mal de =
grados. Si la longitud es gg=C2=BA mm' ss", LO =3D gg + mm/60 + ss/3600.=
Por conveniencia, para este c=C3=A1lculo solamente, el =C3=A1ngulo LO se=
r=C3=A1 positivo =
si es una longitud Oeste, es decir si el meridiano local est=C3=A1 al Oe=
ste de =
Greenwich, y ser=C3=A1 negativo si es una longitud Este, es decir si el =
=
meridiano local est=C3=A1 al Este de Greenwich.
Llamaremos PS al punto sobre la superficie terrestre directamente debajo=
=
del sat=C3=A9lite, o sea la inersecci=C3=B3n entre la superficie terrest=
re y el =
segmento OS que une el sat=C3=A9lite con el centro de la Tierra, LAS a l=
a =
latitud de este punto, y LOS a la longitud de este mismo punto. O sea, =
LAS=3D0=C2=BA y LOS=3D72=C2=BA Oeste.
Llamaremos DLA a la diferencia de latitud entre nuestra latitud y la del=
=
punto debajo del sat=C3=A9lite, PS. Entonces DLA =3D LA - LAS =3D> DLA =3D=
LA - 0=C2=BA =3D> =
DLA=3DLA.
Llamaremos DLO a la diferencia de longitud entre nuestra longitud y la d=
el =
punto debajo del sat=C3=A9lite (PS). Entonces, DLO =3D LO - LOS =3D> DLO=
=3D LA - 72=C2=BA =
O.
Entonces, el =C3=A1ngulo DLO ser=C3=A1 positivo si el meridiano local es=
t=C3=A1 al Oeste =
del de PS, o sea si LO > 72=C2=BA, y ser=C3=A1 negativo si estamos al Es=
te de PS, es =
decir, LO < 72=C2=BA. Adem=C3=A1s de ser negativo, si LO es una longitud=
Este, es =
decir, si estamos al Este de Greenwich su valor absoluto en realidad se =
=
suma a los 72=C2=BA.
Llamemos AEO al arco de c=C3=ADrculo del Ecuador entre PS y el meridiano=
local. =
Su longitud es igual al =C3=A1ngulo DLO medido en radianes multiplicado =
por el =
radio terrestre R. Para convertir DLO a radianes, lo multiplicamos por P=
i =
(3,141592654) y lo dividimos por 180. Entonces, AEO =3D DLO * Pi / 180 *=
R.
Llamemos ANS al arco de c=C3=ADrculo del meridiano local entre nuestra =
ubicaci=C3=B3n U (la de la antena) y el Ecuador . Su longitud es igual a=
l =
=C3=A1ngulo DLA medido en radianes multiplicado por el radio terrestre R=
. =
Entonces, ANS =3D DLA * Pi / 180 * R.
Nuestro azimut AZ, el =C3=A1ngulo horizontal, ser=C3=A1 el =C3=A1ngulo c=
uya tangente es =
igual a AEO dividido por ANS. O sea, AZ =3D arc tan (AEO / ANS) =3D> AZ =
=3D arc =
tan [ (DLO * Pi / 180 * R) / (DLA * Pi / 180 * R) ] =3D> AZ =3D arc tan =
(DLO / =
DLA) =3D> AZ =3D arc tan [(LO - 72) / LA].
Independientemente de en qu=C3=A9 hemisferio nos encontremos, si AZ es n=
egativo =
(si LO < 72=C2=BA Oeste, y consecuentemente LO - 72 es negativo), girare=
mos =
horizontalmente nuestra antena (hasta ahora, a=C3=BAn orientada seg=C3=BA=
n el =
meridiano, en direcci=C3=B3n Norte-Sur) hacia el Oeste, en un =C3=A1ngul=
o cuyo valor =
absoluto es el de AZ. Si AZ es positivo (si LO - 72 es positivo, LO > 72=
), =
la giraremos hacia el Este, el =C3=A1ngulo indicado por el valor de AZ.
3- Siendo U nuestra ubicaci=C3=B3n sobre la superficie terrestre, llamar=
emos O =
al centro de la Tierra, y S a la ubicaci=C3=B3n del sat=C3=A9lite. Estos=
son tres =
puntos que determinan un tri=C3=A1ngulo, del que conocemos la longitud d=
e dos =
de sus lados: uno es el segmento OS entre el centro de la Tierra y el =
sat=C3=A9lite, cuya longitud es de unos 42000 km. El otro es el segmento=
OU, el =
radio terrestre R, que mide poco m=C3=A1s de 6000 km, entre el centro de=
la =
Tierra y nuestra posici=C3=B3n sobre su superficie. Para simplificar, =
supondremos que la tierra es perfectamente esf=C3=A9rica y por lo tanto =
su =
radio es el mismo en cualquier punto de su superficie. Esto no es =
realmente as=C3=AD, pero se acerca lo suficiente para dar una aproximaci=
=C3=B3n =
razonable. El tercer lado, que no conocemos, es el segmento SU, entre el=
=
sat=C3=A9lite y nuestra ubicaci=C3=B3n.
Vamos a calcular el =C3=A1ngulo central A entre estos dos lados conocido=
s del =
tri=C3=A1ngulo, con v=C3=A9rtice en O, el centro de la Tierra.
Llamaremos APS al arco de c=C3=ADrculo m=C3=A1ximo sobre la superficie t=
errestre que =
une la ubicaci=C3=B3n U de la antena con el punto PS, justo debajo del =
sat=C3=A9lite, y cuya longitud es igual al =C3=A1ngulo A medido en radia=
nes =
multiplicado por el radio terrestre R.
Recordemos, del punto 2, que ANS es el arco de c=C3=ADrculo del meridian=
o local =
entre nuestra ubicaci=C3=B3n U (la de la antena) y el Ecuador, y AEO es =
el arco =
de c=C3=ADrculo del Ecuador entre PS (el punto de la superficie terrestr=
e =
directamente debajo del sat=C3=A9lite) y el meridiano local.
Aplicando el teorema de Pit=C3=A1goras, APS =3D ra=C3=ADz cuad (ANS^2 + =
AEO^2) =3D> R * =
A * Pi / 180 =3D ra=C3=ADz cuad ((DLA * Pi / 180 * R)^2 + (DLO * Pi / 18=
0 * R)^2) =
=3D> R * A * Pi / 180 =3D ra=C3=ADz cuad ((DLA)^2 * (Pi / 180 * R)^2 + (=
DLO)^2 * =
(Pi / 180 * R)^2) =3D> R * A * Pi / 180 =3D ra=C3=ADz cuad ((DLA^2 + DLO=
^2) * (Pi / =
180 * R)^2)) =3D> R * A * Pi / 180 =3D ra=C3=ADz cuad (DLA^2 + DLO^2) * =
ra=C3=ADz cuad =
((Pi / 180 * R)^2) =3D> R * A * Pi / 180 =3D ra=C3=ADz cuad (DLA^2 + DLO=
^2) * (Pi / =
180 * R) =3D> (R * A * Pi / 180) / (Pi / 180 * R) =3D ra=C3=ADz cuad (DL=
A^2 + =
DLO^2) =3D> A =3D ra=C3=ADz cuad (DLA^2 + DLO^2) =3D> A =3D ra=C3=ADz cu=
ad (LA^2 + (LO - =
72)^2).
El valor m=C3=ADnimo de A es 0=C2=BA, cuando nuestra ubicaci=C3=B3n U co=
incide con el =
punto PS. Existe un valor m=C3=A1ximo del =C3=A1ngulo A, que llamaremos =
AM, tal que =
si A supera a AM el s=C3=A1telite no ser=C3=A1 visible desde nuestra pos=
ici=C3=B3n U, ya =
que quedar=C3=A1 debajo del horizonte. Cuando A es igual a AM, el punto =
S del =
sat=C3=A9lite est=C3=A1 en el horizonte, as=C3=AD que el =C3=A1ngulo ent=
re el segmento SU y el =
segmento OU es un angulo recto, con v=C3=A9rtice en U, y el tri=C3=A1ngu=
lo formado =
por los puntos O, U y S es rect=C3=A1ngulo. En ese caso, A =3D AM =3D ar=
c cos (R / =
OS), entonces AM es aproximadamente igual al =C3=A1ngulo cuyo coseno es =
un =
s=C3=A9ptimo. O sea, AM ~=3D arc cos (1/7) =3D 81,7867892983=C2=BA =3D 8=
1=C2=BA 47' 12,44".
Calcularemos ahora el =C3=A1ngulo B, con v=C3=A9rtice en el sat=C3=A9lit=
e (punto S), =
entre el segmento OS y nuestra posici=C3=B3n sobre la superficie terrest=
re, U. =
Este ser=C3=ADa el =C3=A1ngulo que el sat=C3=A9lite tendr=C3=ADa que gir=
ar su antena para =
apuntar a nuestra posici=C3=B3n si partiera desde una posici=C3=B3n inic=
ial =
apuntando al punto PS y al centro de la Tierra.
Llamaremos UX al segmento entre entre nuestra posici=C3=B3n y el punto X=
, =
perteneciente al segmento OS, m=C3=A1s cercano a la misma, en l=C3=ADnea=
recta. O =
sea que UX es perpendicular a OS y el cateto de un tri=C3=A1ngulo rect=C3=
=A1ngulo, =
opuesto al =C3=A1ngulo B. Llamaremos OX al segmento entre el centro de l=
a =
Tierra y el punto X. O sea que OX pertenece a OS. Y sea SX el segmento =
entre el sat=C3=A9lite y el punto X. El segmento SX tambi=C3=A9n pertene=
ce a OS, y =
es el cateto de un tri=C3=A1ngulo rect=C3=A1ngulo, adyacente al =C3=A1ng=
ulo B, cuyo =
=C3=A1ngulo recto tiene v=C3=A9rtice en X. Adem=C3=A1s SX es igual a OS =
menos OX. El =
=C3=A1ngulo B es aquel cuya tangente es UX dividido por SX. O sea, B =3D=
arc tan =
(UX / SX) =3D> B =3D arc tan (UX / (OS - OX)) =3D> B =3D arc tan [R * se=
n(A) / (OS =
- R * cos(A))] =3D> B =3D arc tan [R * sen(A) / [R * (OS/R - cos(A))]] =3D=
B =3D =
arc tan [sen(A) / [OS/R - cos(A)]].
Donde OS/R es aproximadamente igual a 7.
Cuando A=3D0=C2=BA, B es m=C3=ADnimo e igual a 0=C2=BA. Cuando A=3DAM, e=
l tri=C3=A1ngulo formado =
por los puntos O, U y S es rect=C3=A1ngulo en U, y B es igual a BM =3D 1=
80=C2=BA - 90=C2=BA =
- AM, =3D> BM =3D 90=C2=BA - AM ~=3D 8,2132107017=C2=BA =3D 8=C2=BA 12' =
47,55". Este es el m=C3=A1ximo =
valor dentro del cual el sat=C3=A9lite es visible desde la superficie =
terrestre. A medida que A aumenta m=C3=A1s all=C3=A1 de AM, B disminuye =
ligeramente. =
Cuando A=3D90=C2=BA, B es igual al arco tangente de R/OS, que es ligeram=
ente =
menor que BM.
En este tri=C3=A1ngulo rect=C3=A1ngulo entre los puntos U (nuestra ubica=
ci=C3=B3n), X, y =
S (el sat=C3=A9lite), el segmento SU es la hipotenusa, y su longitud es =
la =
distancia en l=C3=ADnea recta entre nuestra ubicaci=C3=B3n y el sat=C3=A9=
lite.
Entonces, SU =3D ra=C3=ADz cuad (UX^2 + SX^2) =3D> SU =3D ra=C3=ADz cuad=
[(R * sen(A))^2 + =
(OS - OX)^2] =3D> SU =3D ra=C3=ADz cuad [[R * sen(A)]^2 + [OS - (R * cos=
(A))]^2] =3D> =
SU =3D ra=C3=ADz cuad [[R * sen(A)]^2 + [R * (OS/R - cos(A))]^2] =3D> SU=
=3D ra=C3=ADz =
cuad [R^2 * [sen(A)]^2 + R^2 * [(OS/R - cos(A))]^2] =3D> SU =3D ra=C3=AD=
z cuad [R^2 =
* ([sen(A)]^2 + [(OS/R - cos(A))]^2)] =3D> SU =3D ra=C3=ADz cuad [R^2] *=
ra=C3=ADz cuad =
([sen(A)]^2 + [(OS/R - cos(A))]^2) =3D> SU =3D R * ra=C3=ADz cuad ([sen(=
A)]^2 + =
[(OS/R - cos(A))]^2).
Conocer SU, la distancia en l=C3=ADnea recta entre nuestra ubicaci=C3=B3=
n y el =
sat=C3=A9lite, nos permite conocer el delay, el tiempo que tarda una se=C3=
=B1al en =
recorrer esa distancia, que resulta de dividir la misma por la velocidad=
=
de la luz, c =3D 300000 km/s. O sea, delay =3D SU / c.
Cuando A es 0=C2=BA, el punto X se ubica sobre la superficie terrestre y=
=
coincide con el punto PS y con el punto U, y la longitud de OX es m=C3=A1=
xima, =
e igual a R. A medida que U se aleja de PS y el =C3=A1ngulo A aumenta, e=
l punto =
X desciende hacia el centro de la Tierra (O), y la longitud de OX =
disminuye. Cuando A=3D90=C2=BA, X coincide con O, y la longitud de OX es=
cero, =
pero en este caso el horizonte es paralelo al segmento OS, y el punto S =
=
queda por debajo del mismo, ya que A=3D90=C2=BA > AM.
Trazaremos ahora un segmento UY sobre una perpendicular al segmento OU =
(que une nuestra ubicaci=C3=B3n U con O, el centro de la Tierra, el radi=
o =
terrestre R), entre nuestra posici=C3=B3n U y el punto Y perteneciente a=
l =
segmento OS. Entonces, Y es la intersecci=C3=B3n entre OS (el segmento e=
ntre el =
sat=C3=A9lite y el centro de la Tierra) y una perpendicular a R que pasa=
por U, =
nuestro horizonte local. Es decir, O (el centro de la Tierra), U (nuestr=
a =
ubicaci=C3=B3n sobre la superficie terrestre), e Y (un punto entre el sa=
t=C3=A9lite =
y el centro de la Tierra), son tres puntos que determinan un tri=C3=A1ng=
ulo =
rect=C3=A1ngulo, cuyo =C3=A1ngulo recto tiene v=C3=A9rtice en U. Conocem=
os, porque =
acabamos de calcularlo, el =C3=A1ngulo A, cuyo v=C3=A9rtice es O, el cen=
tro de la =
Tierra, ente los segmentos OU y OY. Llamemos C al =C3=A1ngulo cuyo v=C3=A9=
rtice es =
Y, entre los segmentos OY y UY, que es igual a 180=C2=BA menos la suma d=
e los =
otros dos =C3=A1ngulos internos de este tri=C3=A1ngulo. O sea, C =3D 180=
=C2=BA - 90=C2=BA - A =3D> =
C =3D 90=C2=BA - A.
Al mismo tiempo, queda determinado otro tri=C3=A1ngulo, que no es rect=C3=
=A1ngulo, =
entre los puntos U, S e Y, formado por los segmentos UY, SY y SU, donde =
SY =
es el segmento entre el sat=C3=A9lite y el punto Y, y llamaremos D al =C3=
=A1ngulo =
con v=C3=A9rtice en Y entre el segmento SY y el segmento UY. Los =C3=A1n=
gulos C y D =
son suplementarios, forman un =C3=A1ngulo llano, suman 180=C2=BA, porque=
los =
segmentos OY y SY pertenecen al, y sumados forman el, segmento OS. =
Entonces, C + D =3D 180=C2=BA =3D> D =3D 180=C2=BA - C =3D> D =3D 180=C2=
=BA - (90=C2=BA - A) =3D> D =3D 180=C2=BA =
- 90=C2=BA + A =3D> D =3D 90=C2=BA + A.
Conocemos, porque ya lo calculamos, el =C3=A1ngulo B, con v=C3=A9rtice e=
n S, el =
sat=C3=A9lite, entre los segmentos SY y SU. Nos falta calcular el =C3=A1=
ngulo DE, la =
declinaci=C3=B3n, con v=C3=A9rtice en U, entre el segmento UY, nuestro h=
orizonte =
local, y el segmento SU, en l=C3=ADnea recta al sat=C3=A9lite desde nues=
tra =
ubicaci=C3=B3n U.
De la geometr=C3=ADa euclidiana, sabemos que los =C3=A1ngulos interiores=
de un =
tr=C3=ADaangulo sobre un plano suman 180=C2=BA. Entonces, DE + D + B =3D=
180=C2=BA =3D> DE =3D =
180=C2=BA - D - B =3D> DE =3D 180=C2=BA - (90=C2=BA + A) - B =3D> DE =3D=
90=C2=BA - A - (arc tan =
[sen(A) / [OS/R =E2=80=93 cos(A)]]).
Cuando A es 0=C2=BA, el punto Y se ubica sobre la superficie terrestre y=
=
coincide con los puntos X, PS y U, y la longitud de OY es m=C3=ADnima, e=
igual =
a R. A medida que nuestra ubicaci=C3=B3n U se aleja de PS y el =C3=A1ngu=
lo A =
aumenta, el punto Y asciende hacia el sat=C3=A9lite (S), y la longitud d=
e OY =
(el segmento entre el centro de la Tierra y el punto Y) aumenta. Cuando =
=
A=3DAM, Y coincide con S en el horizonte local. Cuando A supera a AM, la=
=
longitud de OY es mayor que la longitud de OS y S no es visible, quedand=
o =
debajo del horizonte. Cuando A=3D90=C2=BA la longitud de OY es infinita,=
porque =
en este caso el horizonte UY es paralelo al segmento OS, y no hay una =
intersecci=C3=B3n que determine el punto Y.
El sat=C3=A9lite s=C3=B3lo ser=C3=A1 visible dentro de un c=C3=ADrculo s=
obre la superficie =
terrestre con centro debajo de PS, cuyo radio es determinado por el =C3=A1=
ngulo =
central AM. Este c=C3=ADrculo es la base de un cono cuyo v=C3=A9rtice es=
S, el =
sat=C3=A9lite. Los puntos extremos de ese casquete esf=C3=A9rico ser=C3=A1=
n =
aproximadamente: 81=C2=BA 47' 12,44" N, 72=C2=BA O (al Norte); 0=C2=BA N=
, 9=C2=BA 47' 12,44" E =
(al Este); 81=C2=BA 47' 12,44" S, 72=C2=BA O (al Sur); y 0=C2=BA S, 153=C2=
=BA 47' 12,44" O (al =
Oeste).
Resumiendo:
Salvo los casos especiales mencionados en el punto 1, donde nuestra =
ubicaci=C3=B3n U se encuentra sobre el Ecuador o sobre el meridiano de 7=
2=C2=BA, en =
cuyo caso orientamos horizontalmente la antena hacia uno de los cuatro =
puntos cardinales (o verticalmente hacia arriba, y finalizamos), en los =
=
dem=C3=A1s casos deberemos calcular el =C3=A1ngulo horizontal o azimut A=
Z =3D arc tan =
((LO - 72) / LA).
Luego calculamos el =C3=A1ngulo A, con v=C3=A9rtice en el centro de la T=
ierra, entre =
el sat=C3=A9lite y nuestra ubicaci=C3=B3n, siendo A =3D ra=C3=ADz cuad (=
LA^2 + (LO - 72)^2).
Finalmente, calculamos el =C3=A1ngulo vertical, o declinaci=C3=B3n, DE =3D=
90=C2=BA - A - =
(arc tan [sen(A) / [OS/R - cos(A)]]).
Donde OS/R es aproximadamente igual a 7. Estos son los =C3=BAnicos c=C3=A1=
lculos =
realmente necesarios.
Suponiendo que los c=C3=A1lculos sean correctos, debido a las suposicion=
es =
hechas para simplificarlos (que la Tierra es perfectamente esf=C3=A9rica=
, =
etc=C3=A9tera), los resultados no ser=C3=ADan exactos sino s=C3=B3lo apr=
oximados, o sea, =
cosa de negros.
"Parece otro pa=C3=ADs", dijo la locutora del canal de televisi=C3=B3n T=
N, Todo =
Noticias, al comentar el lanzamiento del sat=C3=A9lite.
Efectivamente, es otro pa=C3=ADs: Se llama Argentina, y se ubica al otro=
lado =
de la Avenida General Paz.
En muchos aspectos, en infinidad de variables, tales como mortalidad =
infantil, desnutrici=C3=B3n, salarios, salud, educaci=C3=B3n, etc., la c=
iudad de =
Buenos Aires y el Interior de Argentina son dos pa=C3=ADses distintos, m=
uy =
diferentes. El sat=C3=A9lite es un ejemplo de lo que Argentina puede hac=
er =
cuando Buenos Aires no le vampiriza excesivamente sus recursos para =
transferirlos al extranjero.
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